Skraftix.ru
Наибольший общий делитель Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное

Общее кратное

Общее кратное чисел — это натуральное число, которое делится без остатка на каждое из данных натуральных чисел.

Пример.

Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16 и т. д.

Числу 6 кратны числа: 12, 18, 24 и т. д.

Число 12 делится нацело на оба числа 4 и 6. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример.

Для чисел 3 и 4 кратными будут числа: 12, 24, 48 и т. д. Все они являются общими кратными чисел 3 и 4.

Как найти общее кратное

Найти общее кратное данных натуральных чисел можно так: перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример.

Найти общее кратное чисел 2, 3, 5.

Решение.

2 · 3 · 5 = 30.

Число 30 — общее кратное чисел 2, 3, 5.

НОК

Наименьшее общее кратное — это самое маленькое из общих кратных. Среди всех общих кратных всегда имеется наименьшее.

Наименьшее общее кратное данных чисел записывают так:

НОК (ab, ...) = x.

где a, b, ... — данные числа, а x — наименьшее общее кратное. Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример.

Из всех общих кратных чисел 4 и 6, наименьшим общим кратным является число 12:

НОК (4, 6) = 12.

Никакое другое число, меньшее 12, не делится одновременно на 4 и на 6 без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное

Есть два способа нахождения НОК: с помощью разложения данных чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

Поиск НОК с помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК данных натуральных чисел, нужно каждое из данных чисел разложить на простые множители, взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример.

Найти НОК чисел 60 и 198.

Решение. Раскладываем числа 60 и 198 на простые множители:

60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5;

198 = 2 · 3 · 3 · 11 = 2 · 32 · 11.

Наименьшее общее кратное должно делиться на 60, значит, в его состав должны входить все множители числа 60, также оно должно делиться и на 198, т. е. в его состав должны входить все множители и этого числа.

Возьмём из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим их между собой:

22 · 32 · 5 · 11 = 1 980.

В результате мы получили наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 1 980 не делится нацело на 60 и 198.

Ответ: НОК (60, 198) = 1 980.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример.

Найти НОК (4, 12, 6).

Решение. Раскладываем каждое из чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3;

4 = 2 · 2 = 22;

6 = 2 · 3 .

Разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

22 · 3 = 12.

Ответ: НОК (4, 12, 6) = 12.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример.

Найти НОК (27, 10).

Решение. Раскладываем числа на простые множители:

27 = 3 · 3 · 3 = 33;

10 = 2 · 5.

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

2 · 5 · 33 = 10 · 27 = 270.

Ответ: НОК (27, 10) = 270.

Нахождение НОК через НОД

Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

Правило в общем виде:

НОК (mn) = m · n : НОД (mn).

Пример.

Найти НОК (42, 105).

Решение. Сначала находим их НОД:

НОД (42, 105) = 21.

Затем вычисляем НОК по формуле:

НОК (42, 105) = 42 · 105 : НОД (42, 105) = 4 410 : 21 = 210.

Ответ: НОК (42, 105) = 210.

Чтобы с помощью данного метода найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

  1. Находим НОК любых двух из данных чисел.
  2. Находим наименьшее общее кратное найденного НОК и какого-нибудь следующего числа.
  3. Выполняем пункт 2 до тех пор, пока есть числа.

Пример.

Найти НОК (6, 9, 15).

Решение. Находим НОД любых двух из данных чисел, например, 15 и 9:

НОД (15, 9) = 3.

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (15, 9) = 15 · 9 : НОД (15, 9) = 135 : 3 = 45.

Теперь находим наименьшее общее кратное найденного НОК и оставшегося числа (6). Сначала вычисляем НОД:

НОД (45, 6) = 3

Вычисляем НОК по формуле:

НОК (45, 6) = 45 · 6 : НОД (45, 6) = 270 : 3 = 90.

Ответ: НОК (6, 9, 15) = 90.